Dans cet article, nous allons définir les opérations que nous pouvons faire sur les polynômes. Vous allez voir c’est assez intuitif mais il est bon de savoir tout ce qui est autorisé
Prérequis
Les opérations de base
Soit \mathbb{K} un anneau. Dans toute la suite, on notera P et Q deux polynômes de \mathbb{K}[X].
On les écrit sous la forme : P = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k X^k et Q = \displaystyle \sum_{k=0}^m b_k X^k . On suppose que n > m pour simplifier les calculs et pour k > m, on aura alors b_k = 0
Somme de deux polynômes
Il est alors possible de définir la somme de deux polynômes :
(P+Q)(X) = \sum_{k=0}^n (a_k+b_k)X^k = P(X) + Q(X)Multiplication par un scalaire
On peut aussi définir la multiplication par un scalaire. Soit \lambda un élément de \mathbb{K}. On a alors :
(\lambda P)(X) = \sum_{k=0}^n (\lambda a_k)X^k= \lambda \sum_{k=0}^n a_kX^k = \lambda P(X) En prenant \lambda = -1 et en utilisant la propriété de la somme, on a alors la différence :
(P-Q)(X) = \sum_{k=0}^n (a_k-b_k)X^k = P(X) - Q(X)Produit de deux polynômes
On peut multiplier entre eux 2 polynômes :
\begin{array}{ll}
P(X) Q(X) & = \displaystyle \sum_{i=0}^n a_i X^i \sum_{j=0}^m b_j X^j \\
& = \displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_i b_j X^{i+j} \\
& = \displaystyle \sum_{k=0}^{n+m} \sum_{i+j=k} a_i b_j X^k
\end{array}On définit donc pour R(X) = P(X)Q(X) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n+m}d_k X^k le terme d_k
d_k = \displaystyle \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}Il n’est pas nécessaire de retenir cette formule, mais il faut savoir que l’on peut multiplier entre eux deux polynômes.
Composée de deux polynômes
Voici une autre opération sur les polynômes. On peut calculer la composée de deux polynômes. Là aussi il est nécessaire de savoir qu’on peut le faire mais pas forcément de retenir la formule.
\begin{array}{ll}
(P \circ Q)(X) & = P(Q(X)) \\
&= \displaystyle P\left( \sum_{j=0}^m b_j X^j \right)\\
& = \displaystyle \sum_{i=0}^n a_i \left(\sum_{j=0}^m b_j X^j \right)^k \\
\end{array}Dérivée d’un polynôme
On peut dériver un polynôme. La dérivée d’un polynôme P est notée P'. La formule est la suivante :
P'(X) = \sum_{k=0}^n k a_k X^{k-1}On définit par récurrence la dérivée n-ième d’un polynôme :
P^{(n+1)}(X) = (P^{(n)})'(X)On a aussi les formules suivantes :
- La somme de la dérivée est la dérivée de la somme : (P+Q)'(X) = P'(X) + Q'(X)
- La multiplication par un scalaire de la dérivée est la dérivée multipliée par un scalaire : (\lambda P)'(X) =\lambda P'(X)
- La dérivée du produit s’écrit comme suit (PQ)'(X) = P'(X) Q(X) + P(X) Q'(X)
- La formule de Leibniz est aussi valable pour les polynômes !
