Dans cet article, nous allons vous apprendre comment faire le produit entre deux matrices. Nous allons voir la formule théorique ainsi que des exemples pratiques.
Théorie
Soient A= (a_{ij} )_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p }\in M_{n,p}(\mathbb{K}) et B= (b_{ij} )_{1 \leq i \leq p, 1 \leq j \leq q}\in M_{r,q}(\mathbb{K}).
La condition pour que le produit soit possible est que p = r c’est-à-dire que la seconde dimension de la première matrice doit être égale à la première dimension de la seconde matrice.
Par exemple, on peut multiplier une matrice de taille (2,3) par une matrice de taille (3,5) mais on ne peut pas multiplier une matrice de taille (3,2) par une matrice de taille (5,3).
Pour la suite, on supposera A \in M_{n,p}(\R) et B \in M_{p,q}(\R).
On cherche à calculer C = AB= (c_{ij})_{1 \leq i \leq n, 1\leq j \leq q } \in M_{n,q}(\R). Déjà, on remarque qu’on a une sorte de “relation de Chasles” dans le produit de matrices, c’est-à-dire qu’en multipliant une matrice de taille (n,p) par une matrice de taille (p,q), on obtient une matrice de taille (n,q).
On a la formule suivante qui permet de calculer c_{ij} :
c_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj}Cette formule permet de calculer de manière concrète le produit entre A et B. Comme la matrice obtenue est de taille (n,q), il y a n \times q produits à calculer.
Exemple
Exemple 1 : On cherche à calculer le produit C = AB avec
A= \begin{pmatrix} 3&4\\2 & 2 \end{pmatrix} \text{ et } B=\begin{pmatrix} 1&2\\1 & 1 \end{pmatrix}Pour cela, la solution est d’abord de les écrire sous cette forme :
\begin{array}{cc}
&B\\
A &
\end{array}Plus concrètement, en mettant les matrices avec leurs nombres comme ceci :
\begin{array}{cc}
& \begin{pmatrix} 1&2\\1 & 1 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} 3&4\\2 & 2 \end{pmatrix} &
\end{array}On calcule ensuite la première case à partir de la 1ère ligne et de la 1ère colonne pour remplir la 1ère ligne et la 1ère colonne : 3 \times 1 + 4\times 1= 7
\begin{array}{cc}
& \begin{pmatrix} 1&2\\1 & 1 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} 3&4\\2 & 2 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 7 &\ \\ \ &\ \end{pmatrix}
\end{array}Ensuite, on va par exemple calculer la 2ème ligne de la 1ère colonne à l’aide de la 2ème ligne et 1ère colonne : 2 \times 1 + 2 \times 1 = 4
\begin{array}{cc}
& \begin{pmatrix} 1&2\\1 & 1 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} 3&4\\2 & 2 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 7 &\ \\ 2 &\ \end{pmatrix}
\end{array}Puis, on calcule la 1ère ligne de la 2ème colonne à l’aide de la 1ère ligne de la deuxième colonne : 3\times 2 +4 \times 1 =10
\begin{array}{cc}
& \begin{pmatrix} 1&2\\1 & 1 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} 3&4\\2 & 2 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 7 &10 \\ 2 &6 \end{pmatrix}
\end{array}Et on fait de même pour le dernier terme 2 \times 2 + 2 \times 1 =6.
Et donc, en pratique, pour calculer une matrice quand on n’a pas l’habitude, on suit ces différentes coordonnées pour calculer rapidement le produit.
Exemple 2 : On cherche à calculer le produit AB des matrices suivantes :
A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix} \text{ et } B=\begin{pmatrix} 1&0\\2 & 1\\ 3&2 \end{pmatrix}On pose le produit sous la bonne forme :
\begin{array}{cc}
& \begin{pmatrix} 1&2&3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 1&0\\2 & 1\\ 3&2 \end{pmatrix}
\end{array}On calcule la 1ère ligne de la 1ère colonne : 1\times 1 + 0 \times 4=1 et on le répète pour les autres lignes et colonnes. A la fin on obtient :
\begin{array}{cc}
& \begin{pmatrix} 1&2&3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 1&0\\2 & 1\\ 3&2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 6 & 9 & 12 \\ 10 & 16 & 21\end{pmatrix}
\end{array}Ce qui nous permet d’obtenir C.
Exercices
Voici quelques exercices pour vous entrainer sur les produits de matrices
Exercice 1
Calculer les produits AB suivants :
\begin{array}{c}
1) \ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\\
2) \ A = \begin{pmatrix}1&3&5\\2 & 4 & 6 \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 1& -1\\ 2&-2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\\
3) \ A = \begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\ 1&1&1 \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 1 \\-2 \\ 1\end{pmatrix}\\
4) \ A = \begin{pmatrix} -3&5&7&6\\ 2&7&4&2\end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 7&-3\\ 5&4\\ -3& -5\\ 12&0\end{pmatrix}
\end{array}Exercice 2
Calculer, lorsque cela est possible, les produits AB et BA
\begin{array}{c}
1) \ A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}\\
2) \ A = \begin{pmatrix}2&4&6\\4 & 6 & 6 \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 1& -1\\ 2&-2 \\ 3 & -3\\ 4&-4 \end{pmatrix}\\
3) \ A = \begin{pmatrix}1&-1&2&2\\3&-3&4&-4 \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 3&5 \\-2 & -4\\ 3&1\end{pmatrix}\\
\end{array}
