Comment déterminer les racines rationnelles d’un polynôme ?

C’est un sujet d’arithmétique tout à fait faisable pour le grand oral de mathématiques par exemple ! Les racines rationnelles d’un polynôme doivent vérifier certaines propriétés rendant trouvables de manière systématique ces racines là.

Définition du problème 

On définit un polynôme P selon la forme suivante : 

P = \sum_{k=0}^n a_k X^k, a_n \neq 0, a_k \in \Z

Le polynôme est donc à coefficients entiers, quitte à multiplier par le PPCM des dénominateurs, on peut le supposer à coefficients rationnels.

Soit un nombre rationnel r, on pose r défini par 

p \in \Z, q \in \N^*, r = \dfrac{p}{q}

Avec PGCD(p,q) = 1

On va donc chercher les r tels que P(r) = 0 

Résolution du problème

On écrit donc P(r) = 0, ce qui nous donne 

P(r) = \sum_{k=0}^n a_k r^k = 0

Ce qu’on peut écrire : 

P \left( \dfrac{p}{q} \right) = \sum_{k=0}^n a_k \left( \dfrac{p}{q} \right)^k = 0

On multiple ensuite par qⁿ pour obtenir la relation suivante : 

\sum_{k=0}^n a_k p^kq^{n-k} = 0

Maintenant, on va isoler le terme k = 0 et factoriser par p le membre de droite : 

\begin{array}{ll}
&\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k p^kq^{n-k} = 0\\
\iff &\displaystyle a_0q^n +  \sum_{k=1}^n a_k p^kq^{n-k} = 0\\
\iff &\displaystyle a_0q^n = -  \sum_{k=1}^n a_k p^kq^{n-k} \\
\iff &\displaystyle a_0q^n = -  \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} p^{k+1}q^{n-1-k}\\
\iff &\displaystyle a_0q^n = -  p\sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} p^{k}q^{n-1-k}\\
\end{array}

On en déduit maintenant que 

p | a_0 q^n

Et comme, PGCD(p,q) = 1, on a aussi PGCD(p,qⁿ) = 1 et on obtient par le théorème de Gauss :

p | a_0 

Maintenant, on va en déduire une propriété similaire pour q, on va isoler le terme n dans la somme : 

\begin{array}{ll}
&\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k p^kq^{n-k} = 0\\
\iff &\displaystyle a_np^n +  \sum_{k=0}^{n-1} a_k p^kq^{n-k} = 0\\
\iff &\displaystyle a_np^n = -  \sum_{k=0}^{n-1} a_k p^kq^{n-k} \\
\iff &\displaystyle a_np^n = -  \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-1-k} p^{n-1-k}q^{k+1} \\
\iff &\displaystyle a_np^n = -  q\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-1-k} p^{n-1-k}q^{k} \\
\end{array}

On a fait le changement d’indice k ‘ = n-1-k. La suite du raisonnement est la même. On a donc : 

q | a_np^n 

Et comme, PGCD(p,q) = 1, on a aussi PGCD(pⁿ,q) = 1 et on obtient par le théorème de Gauss :

q | a_n

Ce qui termine la résolution. On a donc obtenu les deux propriétés suivantes pour les racines rationnelles d’un polynôme : 

p | a_0, q | a_n

p est donc un diviseur de a0 et q un diviseur de an. Il suffit donc de parcourir l’ensemble des combinaisons de diviseurs de p et q pour obtenir les racines rationnelles (bien évidemment on n’en a pas toujours)

Attention, il faut prendre les diviseurs positifs et négatifs !

Exemple 

Prenons le polynôme suivant 

P = X^3 -X^2 +X - 1

On a donc d’après ce qu’on a vu avant p | 1 et q | -1

Ce qui fait que les valeurs possibles pour p sont – 1 et 1 et pour q sont aussi -1 et 1. Les valeurs possibles des racines rationnelles r sont donc – 1 et 1.
On a : P(1) = 0 et P(-1) = -4. La seule racine rationnelle est donc 1.

Cette méthode vous permet aussi notamment pour les polynômes de degré 3 de chercher une première racine. On peut alors trouver les autres racines en factorisant puis en utilisant le discriminant.