Dans cet article, nous allons voir la version du théorème de Bézout et Gauss dans leur version polynomiale. Là aussi, vous allez voir que c’est très similaire aux entiers !
Prérequis
Théorème de Bézout
Soit \mathbb{K} un anneau. Soient P_1 et P_2 deux polynômes de \mathbb{K}[X]. On note d = PGCD(P_1,P_2)
Alors il existe deux polynômes U,V \in \mathbb{K} tels que
d = P_1U + P_2 V
Identité de Bézout
P_1 et P_2 sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels queP_1 U + P_2 V = 1
Théorème de Gauss
Soient P,Q,R deux polynômes tels que
- P | QR
- PGCD(P,Q) = 1
Alors P |R
Corollaire du théorème de Gauss
Le corollaire du théorème de Gauss est aussi valable. Si :
- PGCD(P,Q) = 1
- P | R
- Q | R
Alors PQ |R
