Dans cet article, nous allons étudier la notion de division euclidienne pour les polynômes !
Prérequis
Théorème de la division euclidienne
Soit \mathbb{K} un anneau. Soit A et B deux polynômes de \mathbb{K}[X].
Alors il existe un unique couple (Q,R) appelés quotient et reste tels que A= BQ +R et tel que \deg(R) < \deg(B)
Dans la division euclidienne sur les entiers, on a r <b dans la décomposition a = bq + r et maintenant on a \deg(R) < \deg(B) mais c’est la même chose finalement.
Divisibilité
On dit que A divise B si et seulement si il existe Q \in \mathbb{K}[X], A =BQ. Donc dans ce cas le reste est nul. Soit (A,B,C) \in \mathbb{K}[X] et c \in \mathbb{K}^*. Voici quelques propriétés de la division euclidienne.
- A | A
- A | B et B | C \Longrightarrow A |C
- B | A et A | B \iff \exists c \in \mathbb{K}^*, A = c B
- A | B \iff cA | B
- A | B \Longrightarrow A | BC
- A | B et A | C \Longrightarrow A |(B+C)
Exemples
On cherche à diviser X^3 + X^2+ X+1 par X^2 -1 . Le résultat est alors
X^3 + X^2+ X+1 = (X^2-1)(X+1) +2X+2
Le quotient est donc X+1 et le reste 2X+2 de degré 1 < 2.
Comment faire une division euclidienne ?
On peut poser la division euclidienne ! L’idée principale est qu’à chaque étape on va chercher à diminuer le degré
Par exemple, on va chercher à faire la division euclidienne de A(X) = X^5+2X^4 + 3X^3+4X^2 +5X+ 6 par B(X) = X^2 + 2
\begin{array}{ ccccccc | ccc c }
A= & X^5&+2X^4& + 3X^3&+4X^2 &+ 5X & +6 & X^2 & & +2& = B\\
-X^3 B= & -X^5&& -2 X^3&&& & X^3 & & & = P_1\\
R_1= & &2X^4& X^3&+4X^2&+5X&+6 & \\
-2X^2B= & &-2X^4& &-4X^2& & &2X^2 &&&= P_2\\
R_2= & && X^3&&+5X &+6 & &&&\\
-XB= & && -X^3&&-2X & &X &&&=P_3\\
R_2= & && &&3X &+6 & &&&\\
\end{array}Ainsi, on a A(X) = B(X)(X^3+2X^2 +X) +3X+6
Trouver le reste de la division euclidienne
Parfois, il est seulement demandé de trouver le reste. Une méthode fonctionne bien pour cela, et je vous l’ai fait en vidéo :
Si le diviseur est de degré 1, je ne peux que vous conseiller une autre méthode qui est l’algorithme de Horner, nous en avons fait un article dédié :
